定积分计算公式大全24个

定积分是微积分中的重要概念之一，用于计算曲线下方的面积、求解曲线表达式的弧长、质心等问题。在实际应用中，我们经常需要用到各种各样的定积分计算公式。本文将为大家介绍24个常见的定积分计算公式。

1.曲线下方的面积公式：

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则曲线$y=f(x)$与$x$轴所围成的面积$S$可以用定积分表示：

$$S=int_a^bf(x)dx$$

2.平面图形的面积公式：

设闭区间$[a,b]$上的连续函数$f(x)$和$g(x)$满足$f(x)geqg(x)$，则两曲线所围成的平面图形的面积$S$可以用定积分表示：

$$S=int_a^b[f(x)-g(x)]dx$$

3.弧长公式：

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上具有连续导数，则曲线$y=f(x)$从点$(a,f(a))$到点$(b,f(b))$的弧长$L$可以用定积分表示：

$$L=int_a^bsqrt{1+[f'(x)]^2}dx$$

4.质心横坐标公式：

设连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有界，曲线$y=f(x)$与$x$轴所围成的平面图形的质心横坐标为$bar{x}$，则$bar{x}$可以用定积分表示：

$$bar{x}=frac{1}{{S}}int_a^bxcdotf(x)dx$$

5.质心纵坐标公式：

设连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有界，曲线$y=f(x)$与$x$轴所围成的平面图形的质心纵坐标为$bar{y}$，则$bar{y}$可以用定积分表示：

$$bar{y}=frac{2}{{S}}int_a^bf(x)sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$$

6.体积公式：

设$x=a$和$x=b$是曲线$y=f(x)$与$x$轴的两个交点，其中$a

$$V=piint_a^b[f(x)]^2dx$$

7.旋转体的表面积公式：

设$x=a$和$x=b$是曲线$y=f(x)$与$x$轴的两个交点，其中$a

$$A=2piint_a^bf(x)sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$$

8.长度公式：

设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上具有连续导数，则曲线$y=f(x)$的长度$L$可以用定积分表示：

$$L=int_a^bsqrt{1+[f'(x)]^2}dx$$

9.反常积分求解公式：

设函数$f(x)$在区间$[a,+infty)$上连续，则反常积分（无限积分）可以表示为极限形式：

$$int_a^{+infty}f(x)dx=lim_{bto+infty}int_a^bf(x)dx$$

10.二重积分求解公式：

设$f(x,y)$在有界区域$D$上连续，则二重积分可以表示为累次积分的形式：

$$iint_Df(x,y)dxdy=int_{y=c}^{y=d}left[int_{x=a}^{x=b}f(x,y)dxdyright]dy$$

11.柱坐标系下的二重积分求解公式：

设函数$f(r,theta)$在极坐标下连续，且有界，则柱坐标系下的二重积分可以表示为：

$$iint_Df(r,theta)rdrdtheta$$

12.球坐标系下的三重积分求解公式：

设函数$f(r,theta,phi)$在球坐标下连续，且有界，则球坐标系下的三重积分可以表示为：

$$iiint_Vf(r,theta,phi)r^2sinphidrdthetadphi$$

13.牛顿—莱布尼茨公式：

设函数$F(x)$是$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数，则定积分可以表示为：

$$int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$

14.分部积分公式：

设$u(x)$和$v(x)$是可导函数，则定积分可以表示为分部积分的形式：

$$int_a^bu(x)v'(x)dx=[u(x)v(x)]_a^b-int_a^bv(x)u'(x)dx$$

15.换元积分公式：

设$x=phi(t)$是单调可导函数，且$phi'(t)$在区间$[alpha,beta]$上连续，则定积分可以表示为换元积分的形式：

$$int_a^bf(x)dx=int_{alpha}^{beta}f[phi(t)]phi'(t)dt$$

16.对称性质公式：

设函数$f(x)$在区间$[-a,a]$上连续，则定积分可以表示为对称性质的形式：

$$int_{-a}^{a}f(x)dx=2int_0^af(x)dx$$

17.用反射性简化计算公式：

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则定积分可以表示为反射性简化计算的形式：

$$int_a^bf(x)dx=frac{1}{2}int_a^bleft[f(x)+f(b-x)right]dx$$

18.用奇偶性简化计算公式：

设函数$f(x)$在区间$[-a,a]$上连续，且满足奇偶性质，则定积分可以表示为奇偶性简化计算的形式：

$$int_{-a}^af(x)dx=begin{cases}

int_{-a}^af(x)dx,&text{if$f(x)$iseven},\

0,&text{if$f(x)$isodd}.

end{cases}$$

19.平均值定理公式：

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则函数在该区间上的平均值$bar{f}$可以用定积分表示：

$$bar{f}=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)dx$$

20.积分中值定理公式：

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则存在一点$cin(a,b)$，使得定积分可以表示为：

$$int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$

21.积分上下界估计公式：

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续且单调递增（递减），则定积分可以由上（下）界估计：

$$S_1=int_a^bf(x)dxleqsum_{i=0}^{n-1}f(x_i)Deltax$$

$$S_2=int_a^bf(x)dxgeqsum_{i=1}^{n}f(x_i)Deltax$$

22.积分的可加性公式：

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则定积分具有可加性：

$$int_a^bf(x)dx=int_a^cf(x)dx+int_c^bf(x)dx$$

23.积分的线性性质公式：

设函数$f(x)$和$g(x)$在区间$[a,b]$上连续，$c$为常数，则定积分具有线性性质：

$$int_a^b[cf(x)+g(x)]dx=cint_a^bf(x)dx+int_a^bg(x)dx$$

24.积分的区间可加性公式：

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则积分的区间可加性公式为：

$$int_a^bf(x)dx=int_a^cf(x)dx+int_c^bf(x)dx$$

以上介绍了24个常见的定积分计算公式，这些公式涵盖了定积分的多个应用领域，可以帮助我们更便捷地解决各种与曲线面积、弧长、质心、体积、表面积等相关的问题。在实际应用中，根据具体问题选择适合的公式，能够提高计算效率和准确度。